Question

18．设正实数x，y，z满足x²-xy+y²-z=0．则当$\frac{xy}{z}$取得最大值时，$\frac{2}{x}$+$\frac{1}{y}$-$\frac{1}{z}$的最大值为（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． $\frac{9}{4}$
• D． $\frac{9}{8}$

Answer 1

分析 利用基本不等式求出当$\frac{xy}{z}$取得最大值时x=y，z=x²，代入$\frac{2}{x}$+$\frac{1}{y}$-$\frac{1}{z}$得出$\frac{2}{x}$+$\frac{1}{y}$-$\frac{1}{z}$关于x的函数，求出此函数的最大值即可．

解答 解：∵x²-xy+y²-z=0，∴z=x²-xy+y²，
∴$\frac{xy}{z}$=$\frac{xy}{{x}^{2}-xy+{y}^{2}}$≤$\frac{xy}{2xy-xy}=1$，当且仅当x=y时取得等号．
∴当$\frac{xy}{z}$取得最大值时，z=x²，y=x，
∴$\frac{2}{x}$+$\frac{1}{y}$-$\frac{1}{z}$=$\frac{2}{x}+\frac{1}{x}-\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{3x-1}{{x}^{2}}$，
令f（x）=$\frac{3x-1}{{x}^{2}}$，则f′（x）=$\frac{2-3x}{{x}^{3}}$，
∴当0＜x$＜\frac{2}{3}$时，f′（x）＞0，当x$＞\frac{2}{3}$时，f′（x）＜0，
∴当x=$\frac{2}{3}$时，f（x）取得最大值f（$\frac{2}{3}$）=$\frac{9}{4}$．
故选C．

点评 本题考查了基本不等式的应用，函数最值的求法，属于中档题．