Question

8．数列{a_n}满足：a₁=1，${a_n}_{+1}=\frac{{3{a_n}}}{{{a_n}+3}}$，n∈N^*．    
（1）令${b_n}=\frac{1}{a_n}$，求证：数列{b_n}为等差数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （1）证法一：取倒数法即可得出．
证法二：作差方法：只要证明b_n+1-b_n为常数即可．
（2）由（1）可得b_n，即可得出．

解答 （1）证法一：由已知可得$\frac{1}{{{a_{n+1}}}}=\frac{{{a_n}+3}}{{3{a_n}}}=\frac{1}{a_n}+\frac{1}{3}$，即$\frac{1}{{{a_{n+1}}}}-\frac{1}{a_n}=\frac{1}{3}$，
∴$\{\frac{1}{a_n}\}$是以$\frac{1}{a_1}=1$为首项，$\frac{1}{3}$为公差的等差数列．
证法二：∵${b_{n+1}}-{b_n}=\frac{1}{{{a_{n+1}}}}-\frac{1}{a_n}=\frac{{{a_n}-{a_{n+1}}}}{{{a_{n+1}}{a_n}}}=\frac{{{a_n}-{a_{n+1}}}}{{3（{a_n}-{a_{n+1}}）}}=\frac{1}{3}$，
∴$\{\frac{1}{a_n}\}$是以$\frac{1}{a_1}=1$为首项，$\frac{1}{3}$为公差的等差数列．
（2）解：由（1）知${b_n}={b_1}+（n-1）×\frac{1}{3}=\frac{n+2}{3}$．
∴${a_n}=\frac{1}{b_n}=\frac{3}{n+2}$．

点评 本题考查了数列递推关系、等差数列的定义及其通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．