题目内容

函数f（x）定义域为C，若满足①f（x）在C内是单调函数；②存在[m，n]⊆D使f（x）在[m，n]上的值域为[ $数学公式$ ， $数学公式$ ]，那么就称y=f（x）为“希望函数”，若函数f（x）=log_a（a^x+t）（a＞0，a≠1）是“希望函数”，则t取值范围为________．

（0， $\text{[math]}$ ）
分析：法一：由题意可知f（x）在D内是单调增函数，才为“希望函数”，从而可构造函数f（x）= $\text{[math]}$ x，转化为 $\text{[math]}$ =log_a（a^x+t）有两异正根，可求t的范围可求．
法二：根据“希望函数”的概念利用对数函数的性质和一元二次方程根的判别式求解．
解答：因为函数f（x）=log_a（a^x+t）在其定义域内为增函数，则若函数y=f（x）为“希望函数”，
方程f（x）= $\text{[math]}$ x必有两个不同实数根，
∵log_a（a^x+t）= $\text{[math]}$ ?a^x+t= $\text{[math]}$ ?a^x- $\text{[math]}$ +t=0，
令m= $\text{[math]}$
∴方程m²-m+t=0有两个不同的正数根，
∴ $\text{[math]}$
∴t∈（0， $\text{[math]}$ ）
故答案为：（0， $\text{[math]}$ ）
法二：依题意，函数g（x）=log_a（a^x+t）（a＞0，a≠1）在定义域上为单调递增函数，且t≥0，
而t=0时，g（x）=x不满足条件②，
∴t＞0．设存在[m，n]，使得g（x）在[m，n]上的值域为[ $\text{[math]}$ m， $\text{[math]}$ n]，
∴ $\text{[math]}$
即 $\text{[math]}$
∴m，n是方程（a^x）²-a^x+t=0的两个不等正实根，
∴△=1-4t＞0，且t＞0
∴0＜t＜ $\text{[math]}$
故答案为：（0， $\text{[math]}$ ）
点评：本题考查函数的值域，难点在于构造函数，转化为两函数有不同二交点，利用方程解决．