题目内容
设函数f（x）=-x3+2x2-x+2．（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若对任意的x1，x2∈[0，1]，|f（x1）-f（x2）|≤M恒成立，求M的最小题．
分析：（1）求出函数f（x）的导数，通过讨论导数的正负，令导数大于零得出函数的单调增区间，令导数小于零得出函数的单调减区间；
（2）原问题可化为函数f（x）在区间[0，1]上的最大值与最小值的差小于或等于M，由（1）的结论，列出函数f（x）在区间[0，1]上的单调性的表格，求出其最小值为f(
)=
，最大值为f（0）=f（1）=2，故M≥|2-
|=
，故M的最小值为
．
（2）原问题可化为函数f（x）在区间[0，1]上的最大值与最小值的差小于或等于M，由（1）的结论，列出函数f（x）在区间[0，1]上的单调性的表格，求出其最小值为f(
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| 50 |
| 27 |
| 50 |
| 27 |
| 4 |
| 27 |
| 4 |
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解答：解：（1）f′(x)=-3x2+4x-1．由f/(x)＞0得
＜x＜1，
由f′(x)＜0得x＜
或x＞1．
故函数f（x）的单调增区间是（
，1），单调递减区间是（-∞，
），（1，+∞）．（7分）
（2）根据（1）的讨论列下表：
由此可知，函数f（x）在区间[0，1]的最小值为f(
)=
，最大值为f（0）=f（1）=2．
对任意的x1，x2∈[0，1]，|f(x1)-f(x2)|≤|f(x)max-f(x)min|=
，
故对任意的x1，x2∈[0，1]，|f（x1）-f（x2）|≤M恒成立，则M的最小值为
．（13分）
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| 3 |
由f′(x)＜0得x＜
| 1 |
| 3 |
故函数f（x）的单调增区间是（
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
（2）根据（1）的讨论列下表：
| x | 0 | （0，
|
|
(
|
1 | ||||||
| f/（x） | - | 0 | + | ||||||||
| f（x） | 2 | 极小值
|
2 |
| 1 |
| 3 |
| 50 |
| 27 |
对任意的x1，x2∈[0，1]，|f(x1)-f(x2)|≤|f(x)max-f(x)min|=
| 4 |
| 27 |
故对任意的x1，x2∈[0，1]，|f（x1）-f（x2）|≤M恒成立，则M的最小值为
| 4 |
| 27 |
点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，求函数在闭区间上的最大值和最小值，属于中档题．
练习册系列答案
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设函数f（x）的定义域为A，若存在非零实数t，使得对于任意x∈C（C⊆A），有x+t∈A，且f（x+t）≤f（x），则称f（x）为C上的t低调函数．如果定义域为[0，+∞）的函数f（x）=-|x-m2|+m2，且 f（x）为[0，+∞）上的10低调函数，那么实数m的取值范围是（ ）
| A、[-5，5] | ||||||||
B、[-
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C、[-
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D、[-
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