Question

【题目】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，AD⊥平面PAB，△PAB是正三角形，AD=AB=2，BC=1，E是线段AB的中点

（1）求证：平面PDE⊥平面ABCD；
（2）设直线PC与平面PDE所成角为θ，求cosθ

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵AD⊥平面PAB，PE平面PAB，

∴AD⊥PE，

又∵△PAB是正三角形，E是线段AB的中点，∴PE⊥AB，

∵AD∩AB=A，∴PE⊥平面ABCD，

∵PE平面PED，∴平面PED⊥平面ABCD．

（2）解：以E为原点，在平面ABCD中过E作EB的垂直线x轴，EB为y轴，EP为z轴，建立空是直角坐标系，

则E（0，0，0），C（1，1，0），D（2，﹣1，0），P（0，0， ），

=（2，﹣1，0）， =（0，0， ）， =（﹣1，﹣1，﹣ ），

设 =（x，y，z）为平面PDE的一个法向量，

由 ，取x=1，得 =（1，2，0），

设PC与平面PDE所成角为θ，

则sinθ=|cos＜ ＞|= = ，

∴cos ．

【解析】（1）推导出AD⊥PE，PE⊥AB，由此能证明平面PED⊥平面ABCD．（2）以E为原点，在平面ABCD中过E作EB的垂直线x轴，EB为y轴，EP为z轴，建立空是直角坐标系，利用向量法能能求出cosθ．
【考点精析】利用平面与平面垂直的判定和空间角的异面直线所成的角对题目进行判断即可得到答案，需要熟知一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直；已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则．