Question

销售甲、乙两种商品所得利润分别为P万元、Q万元，它们与投入资金t万元的关系有经验公式P=

1

5

t，Q=

3

5

t

，今将3万元资金投入经营甲、乙两种商品，其中对甲种商品投入x万元，①当x=2时，总利润y等于多少？②试建立总利润y万元关于x的函数表达式．③如何分配投资比例，才能使总利润最大，最大利润是多少？

Answer 1

分析：（1）x=2时，P函数中的t值为2，Q函数的t值应为3-2=1，分别求得P和Q的值，从而得出当x=2时，总利润y等于多少；
（2）当自变量取x时，P函数中的t值为，Q函数的t值应为3-x，分别求得P和Q的值，从而得出当自变量取x时，总利润y万元关于x的函数表达式；
（3）对于（2）中的函数解析式，利用换元法转化成一个二次函数的形式，最后结合二次函数的最值求法得出函数的最大值，从而解决问题．

解答：解：（1）x=2时，P=

1

5

×2=

2

5

，Q=

3

5

×

3-2

=

3

5

，
∴y=P+Q=1（万元）
(2)y=

1

5

x+

3

5

3-x

(0≤x≤3)
(3)令

3-x

=t，(0≤t≤

3

)
y=

1

5

(3-t2)+

3

5

t=-

1

5

(t-

3

2

)2+

21

20

当t=

3

2

即x=

3

4

时ymax=

21

20

答：甲投入

3

4

万元乙投入

9

4

万元时收益最大，最大值为

21

20

万元

点评：解决实际问题通常有四个步骤：
（1）阅读理解，认真审题；
（2）引进数学符号，建立数学模型；
（3）利用数学的方法，得到数学结果；
（4）转译成具体问题作出解答，其中关键是建立数学模型．利用换元法构造二次函数模型求解最值是关键．