Question

有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所能获得的利润依次是P（万元）和Q（万元），它们与投入资金x（万元）的关系有经验公式：P=

x

5

，Q=

3

5

x

．今有3万元资金投入经营甲、乙两种商品，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别应为多少？能获得最大利润是多少？

Answer 1

分析：根据3万元资金投入经营甲、乙两种商品，设投入乙x万元，则投入甲（3-x）万元，根据总利润=甲的利润+乙的利润，可得函数关系式，利用换元法转化为二次函数，利用配方法可得结论．

解答：解：设对乙种商品投资x万元，则对甲种商品投资（3-x）万元，总利润为y万元，…（1分）
根据题意得y=

1

5

(3-x)+

3

5

x

（0≤x≤3）…（6分）
令t=

x

，则x=t²，0≤t≤

3

．
所以y=

1

5

(3-t2)+

3

5

t=-

1

5

(t-

3

2

)2+

21

20

，（0≤t≤

3

）…（9分）
当t=

3

2

时，ymax=

21

20

=1.05，此时x=

9

4

，3-x=

3

4

…（11分）
由此可知，为获得最大利润，对甲、乙两种商品投资分别为0.75万元和2.25万元，获得的最大利润为1.05万元．…（12分）

点评：本题考查了函数模型的构建，考查学生利用数学知识解决实际问题，考查函数的最值．关键是根据题意列方程，利用换元、配方法求函数的最值．