Question

已知向量=（cosα，sinα），向量=（cosβ，sinβ），|-|=．
（1）求cos（α-β）的值；
（2）若0＜α＜，-＜β＜0，且cosβ=，求sinα的值．

Answer 1

解：（1）∵向量=（cosα，sinα），向量=（cosβ，sinβ），
∴||=||=1，
又∵|-|=．
∴|-|²==||²+||²-2•
∴•=cos（α-β）=
（2）∵0＜α＜，-＜β＜0，
∴0＜α-β＜π
由（1）中cos（α-β）=，得sin（α-β）=
∵cosβ=，∴sinβ=-
∴sinα=sin[（α-β）+β]
=sin（α-β）•cosβ+cos（α-β）•sinβ
=
分析：（1）由已知中向量=（cosα，sinα），向量=（cosβ，sinβ），可得cos（α-β）=•，我们可以先求出向量||=||=1，再由|-|=，我们可以求出•的值．
（2）由已知中0＜α＜，-＜β＜0，且cosβ=，结合（1）中结论，我们可以求出sin（α-β）的值，及sinβ值，代入sinα=sin[（α-β）+β]=sin（α-β）•cosβ+cos（α-β）•sinβ即可得到答案．
点评：本题考查的知识点是平面向量的模，平面向量的数量积，三角函数给值求值问题，是平面向量与三角函数的综合应用，其中（1）的关键是根据平面向量的数量积公式得到•=cos（α-β），（2）的关键是分析出sinα=sin[（α-β）+β]，将问题转化为求两角和的正弦值问题．