Question

【题目】已知函数 ．
（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若函数f（x）在其定义域内为增函数，求a的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设函数 ，若在[1，e]上至少存在一点x0 ， 使得f（x0）≥g（x0）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）当a=1时，函数 ，

∴f（1）=1﹣1﹣ln1=0. ，

曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为f'（1）=1+1﹣1=1．

从而曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣0=x﹣1，

即y=x﹣1．

（Ⅱ） ．

要使f（x）在定义域（0，+∞）内是增函数，只需f′（x）≥0在（0，+∞）内恒成立．

即：ax2﹣x+a≥0得： 恒成立．

由于 ，

∴ ，

∴

∴f（x）在（0，+∞）内为增函数，实数a的取值范围是 ．

（III）∵ 在[1，e]上是减函数

∴x=e时，g（x）min=1，x=1时，g（x）max=e，即g（x）∈[1，e]

f'（x）= 令h（x）=ax2﹣x+a

当 时，由（II）知f（x）在[1，e]上是增函数，f（1）=0＜1

又 在[1，e]上是减函数，故只需f（x）max≥g（x）min，x∈[1，e]

而f（x）max=f（e）= ，g（x）min=1，即）= ≥1

解得a≥

∴实数a的取值范围是[ ，+∞）

【解析】（Ⅰ）当a=1时，求出切点坐标，然后求出f'（x），从而求出f（1）的值即为切线的斜率，利用点斜式可求出切线方程；（Ⅱ）先求导函数，要使f（x）在定义域（0，+∞）内是增函数，只需f′（x）≥0在（0，+∞）内恒成立，然后将a分离，利用基本不等式可求出a的取值范围；（III）根据g（x）在[1，e]上的单调性求出其值域，然后根据（II）可求出f（x）的最大值，要使在[1，e]上至少存在一点x0，使得f（x0）≥g（x0）成立，只需f（x）max≥g（x）min，x∈[1，e]，然后建立不等式，解之即可求出a的取值范围．
【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减，以及对函数的最大(小)值与导数的理解，了解求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．