Question

直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，底面△ABC中，CA=CB=a，∠BCA=90°，AA₁=2a，M，N分别是A₁B₁、AA₁的中点．
（I）求BN的长；
（II）求BA₁，CB₁夹角的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（I）以C为原点建立空间直角坐标系，B（0，a，0），N（a，0，a），由此能求出．
（II）A₁（a，0，2a），C（0，0，0），B₁（0，a，2a），=（a，-a，2a），=（0，a，2a），再由cos＜＞，能求出BA₁，CB₁夹角的余弦值．
解答：解：以C为原点建立空间直角坐标系
（I）B（0，a，0），N（a，0，a），
∴．…（4分）
（II）A₁（a，0，2a），C（0，0，0），B₁（0，a，2a），
∴=（a，-a，2a），=（0，a，2a），
∴•=a×0+（-a）×a+2a×2a=3a²，…（8分）
||=，
||=，
∴cos＜＞=．…（14分）
点评：本题考查线段的长和两异面直线夹角余弦值的求法，解题时要恰当地建立空间直角坐标系，合理地运用cos＜＞进行求解．