Question

设函数f(x)=

x+|x|，(x≤1) log2(x-1)，(x＞1)

，解不等式f（x）＞1．

Answer 1

分析：当x≤1时，不等式同解于x+|x|＞1，解绝对值不等式求出其解集．当x＞1时，不等式同解于log₂（x-1）＞1，解对数不等式求出其解集，再把求出的这两个解集取并集，即得所求．

解答：解：当x≤1时，f（x）=x+|x|，不等式同解于x+|x|＞1，
即（1）

x≥0 x+x＞1

或（2）

x＜0 x-x＞1

解（1）得

1

2

＜x≤1，解（2）无解，此时原不等式的解为{x|

1

2

＜x≤1}． （6分）
当x＞1时，f（x）=log₂（x-1），不等式同解于log₂（x-1）＞1，
由

x＞1 log2(x-1)＞1

，得x＞3，此时原不等式的解为{x|x＞3}；      （11分）
所以，原不等式的解集为{x|

1

2

＜x≤1，或x＞3}．                （12分）

点评：本题主要考查绝对值不等式、对数不等式的解法，体现了化归与转化的数学思想，属于中档题．