Question

如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，据统计，通过两条路径所用的时间互不影响，所用时间落在各时间段内的频率如下表：

所用时间（分钟）	10～20	20～30	30～40	40～50	50～60
L1的频率	0.1	0.2	0.3	0.2	0.2
L2的频率	0	0.1	0.4	0.4	0.1

现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站．
（Ⅰ）为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？
（Ⅱ）用X表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，针对（Ⅰ）的选择方案，求X的分布列和数学期望．

Answer 1

分析：（I）A_i表示事件“甲选择路径L_i时，40分钟内赶到火车站”，B_i表示事件“乙选择路径Li时，50分钟内赶到火车站”，用频率估计相应的概率P（A₁），P（A₂）比较两者的大小，及P（B₁），P（B₂）的从而进行判断甲与乙路径的选择；
（II）A，B分别表示针对（Ⅰ）的选择方案，甲、乙在各自允许的时间内赶到火车站，由（I）知P（A）=0.6，P（B）=0.9，且甲、乙相互独立，X可能取值为0，1，2，分别代入相互独立事件的概率公式求解对应的概率，再进行求解期望即可

解答：解：（Ⅰ）A_i表示事件“甲选择路径L_i时，40分钟内赶到火车站”，
B_i表示事件“乙选择路径Li时，50分钟内赶到火车站”，
i=1，2．用频率估计相应的概率可得
∵P（A₁）=0.1+0.2+0.3=0.6，
P（A₂）=0.1+0.4=0.5，∵P（A₁）＞P（A₂）
∴甲应选择L_i
P（B₁）=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8，
P（B₂）=0.1+0.4+0.4=0.9，
∵P（B₂）＞P（B₁），∴乙应选择L2．
（Ⅱ）A，B分别表示针对（Ⅰ）的选择方案，甲、乙在各自允许的时间内赶到火车站，
由（Ⅰ）知P（A）=0.6，P（B）=0.9，
又由题意知，A，B独立，
P(X=0)=P(

.

A

.

B

)=P(

.

A

)P(

.

B

)=0.4×0.1=0.04
P（x=1）=P（

.

A

B+A

.

B

）=P（

.

A

）P（B）+P（A）P（

.

B

）
=0.4×0.9+0.6×0.1=0.42
P（X=2）=P（AB）=P（A）（B）=0.6×0.9=0.54
X的分布列：

X	0	1	2
P	0.04	0.42	0.54

EX=0×0.04+1×0.42+2×0.54=1.5．

点评：本题主要考查了随机抽样用样本估计总体的应用，相互独立事件的概率的求解，离散型随机变量的数学期望与分布列的求解，属于基本知识在实际问题中的应用．