Question

（2012•商丘二模）已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

2

2

，短轴的一个端点为M（0，1），过椭圆左顶点A的直线l与椭圆的另一交点为B．
（Ⅰ）若l与直线x=a交于点P，求

OB

•

OP

的值；
（Ⅱ）若|AB|=

4

3

，求直线l的倾斜角．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

2

2

，短轴的一个端点为M（0，1），可求椭圆的方程．设直线l的方程与椭圆方程联立，利用韦达定理求出点B的坐标，即可求得

OB

•

OP

的值；
（Ⅱ）计算弦AB的长，利用|AB|=

4

3

，可求直线的斜率，从而可求直线l的倾斜角．

解答：解：（Ⅰ）∵椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

2

2

，短轴的一个端点为M（0，1），
∴

c

a

=

2

2

，b=1，∴a=

2

∴椭圆的方程为

x2

2

+y2=1
∵直线l过椭圆左顶点A（-

2

，0），设直线l的方程为y=k（x+

2

）
∵直线x=a，即为x=

2

，∴点P（

2

，2

2

k），
由

y=k(x+ 2 ) x2 2 +y2=1

，消元可得（1+2k²）x²+4

2

k²x+4k²-2=0
可知x1=-

2

为此方程的一个根，设B（x₂，y₂）
∴(-

2

)x2=

4k2-2

1+2k2

，∴x2=

-2 2 k2+ 2

1+2k2

∴B(

-2 2 k2+ 2

1+2k2

，

2 2 k

1+2k2

)
∴

OB

•

OP

=

2-4k2

1+2k2

+

8k2

1+2k2

=2；
（Ⅱ）|AB|=

1+k2

|x1-x2|=

2 2+2k2

1+2k2

=

4

3

，
∴8k⁴-k²-7=0
∴k²=1
∴k=±1
∴直线l的倾斜角为

π

4

或

3π

4

．

点评：本题考查椭圆方程，考查向量知识的运用，考查直线与椭圆的位置关系，考查弦长公式，解题的关键是确定椭圆方程，将直线与椭圆方程联立．