Question

数列{a_n}中，如果存在a_k，使得“a_k＞a_k-1且a_k＞a_k+1”成立（其中k≥2，k∈N^*），则称a_k为{a_n}的一个峰值．
（Ⅰ）若an=-3n2+11n，则{a_n}的峰值为

10

；
（Ⅱ）若a_n=tlnn-n，且a_n不存在峰值，则实数 t的取值范围是

{t|t≤

1

ln2

或t=

1

ln( n+1 n )

，n≥2，n∈N^*}

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）可以令f（n）=a_n=-3n²+11n，利用数列的函数特性，可以判定函数的单调性及其最值问题；
（Ⅱ）若a_n=tlnn-n，且a_n不存在峰值，即不存在最值，从而求出实数t的取值范围；

解答：解：（Ⅰ）若an=-3n2+11n，可以令f（n）=-3n²+11n，图象开口向下，
可得f（n）=-3n²+11n=-3（n-

11

6

）²+

121

12

可以存在n=2，使得a₂=-3×4+11×2=10，对于任意的n∈N都有，a_n≤2，
可得{a_n}的峰值为10；
（Ⅱ）若a_n=tlnn-n，a₁=-1，a₂=tln2-2，a₃=tln3-3，a_k=tlnk-k
可以令g（x）=tlnx-x，g′（x）=

t

x

-1=

t-x

x

，（x＞t）
∵若a_n=tlnn-n，且a_n不存在峰值，即不存在先增后减的情况，
即a₁≥a₂，-1≥tln2-2，解得t≤

1

ln2

，
还有另外一种情况，后面每一项在t的调节下都相等，a_n不存在峰值，
即a_n=a_n+1，∴tlnn-n=tln（n+1）-（n+1），
解得t=

1

ln( n+1 n )

，n≥2，n∈N^*，
综上可得：{t|t≤

1

ln2

或t=

1

ln( n+1 n )

，n≥2，n∈N^*}，
故答案为：10，{t|t≤

1

ln2

或t=

1

ln( n+1 n )

，n≥2，n∈N^*}；

点评：此题主要考查数列函数的特性，是一道中档题，考查的知识点比较全面，考查了利用导数研究函数的单调性；