Question

20、如图，在正方体ABCD-A′B′C′D′中
①求证：B′D⊥平面A′C′B；
②求证：B′D与平面A′C′B的交点H是△A′C′B的重心（三角形三条中线的交点）

Answer 1

分析：（1）连接A′B，B′C由正方形AC′得，AD⊥平面A′B，而A′B?平面A′B则AD⊥A′B，因A′B⊥AB′，AD∩AB′=A，根据线面垂直的判定定理可知A′B⊥平面ADB′，而B′D?平面ADB′，则A′B⊥B′D，同理B′C′⊥B′D，A′B∩BC′=B，根据线面垂直的判定定理B′D⊥平面A′BC′；
（2）连接A′H、C′H、C′H，A′B、B′、A′C′均为正方体面对角线则A′B=BC′=A′C′，从而△A′BC′为正三角形，由（1）知B′D⊥平面A′BC′，则A′H=C′H=BH，从而H为△A′BC′的外心，由正三角形五心合一知H也为△A′BC′的重心．

解答：证：（1）连接A′B，B′C由正方形AC′得
AD⊥平面A′B
∵A′B?平面A′B∴AD⊥A′B
∵A′B⊥AB′AD∩AB′=A
∴A′B⊥平面ADB′∵B′D?平面ADB′
∴A′B⊥B′D同理B′C′⊥B′D
∵A′B∩BC′=B∴B′D⊥平面A′BC′
（2）连接A′H、C′H、C′H
∵A′B、B′、A′C′均为正方体面对角线∴A′B=BC′=A′C′
∴△A′BC′为正三角形
由（1）知B′D⊥平面A′BC′∴A′H=C′H=BH，H为△A′BC′的外心
由正三角形五心合一知
H也为△A′BC′的重心．

点评：本题主要考查了直线与平面垂直的判定，以及三角形五心，同时考查了化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力，属于中档题．