Question

已知关于x的方程x²+ax+2b=0（a，b∈R）的两个实数根分别在区间（0，1）和（1，2）内，则|4a+3b-12|的取值范围是

（16，21）

．

Answer 1

分析：利用方程和函数之间的关系，将方程根的分布转化为函数问题，将问题转化为二元一次不等式组，利用线性规划的知识去求解．

解答：解：设f（x）=x²+ax+2b，
∵关于x的方程x²+ax+2b=0（a，b∈R）的两个实数根分别在区间（0，1）和（1，2）内，
∴

f(0)＞0 f(1)＜0 f(2)＞0

，
即

2b＞0 1+a+2b＜0 4+2a+2b＞0

，
∴

b＞0 a+2b+1＜0 a+b+2＞0

，
作出不等式对应的平面区域如图（阴影部分）：
设4a+3b-12=z，
则4a+3b-12=z，
即b=-

4

3

a+4+z，
平移直线b=-

4

3

a+4+z，
由图象可知当直线b=-

4

3

a+4+z经过点C（-1，0）时，直线b=-

4

3

a+4+z的截距最大，此时z最大，
即z=-4-12=-16，
当直线b=-

4

3

a+4+z经过点A时，直线b=-

4

3

a+4+z的截距最小，此时z最小，
由

a+2b+1=0 a+b+2=0

，解得a=-3，b=1，即A（-3，1），
代入z=4a+3b-12=-3×4+3×1-12=-12+3-12=-21，
∴-21＜z＜-16，
即16＜|z|＜21．
∴|4a+3b-12|的取值范围是（16，21），
故答案为：（16，21）．

点评：本题主要考查线性规划的基本应用，将方程转化为函数是解决本题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法．综合性较强，难度较大．