Question

已知函数．
（1）求函数y=f（x）的最小值；
（2 ）证明：对任意恒成立；
（3）对于函数f（x）图象上的不同两点，如果在函数f（x）图象上存在点（其中）使得点M处的切线l∥AB，则称直线AB存在“伴侣切线”．特别地，当，又称直线AB存在“中值伴侣切线”．试问：当x≥e时，对于函数f（x）图象上不同两点A,B直线AB是否存在“中值伴侣切线”？证明你的结论．

Answer 1

解：（1）  
令f′（x）＞0得x∈（1，e）；f′（x）＜0得x∈（0，1）；
∴f′（x）在（0，1]上单减，在[1，e）上单增； 
x∈[e，+∞）时，对x∈[e，+∞）恒成立
∴f（x）在[e，+∞）单调递增，故f（x）_min=f（1）=3    
（2）
令
因为,显然，
所以在上递增,显然有恒成立.（当且仅当x=1时等号成立），即证．
（3）当时，，，
假设函数f（x）存在“中值伴侣切线”.  
设,是曲线y=f（x）上的不同两点，且，
则，.  
故直线AB的斜率：
曲线在点处的切线斜率：
依题意得：
化简可得： ，
即=.
设 ()，上式化为,
由（2）知时，恒成立.
所以在内不存在t,使得成立.
综上所述，假设不成立.
所以，函数f（x）不存在“中值伴侣切线”