Question

【题目】选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系．已知直线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为（）．

（Ⅰ）设为参数，若，求直线的参数方程；

（Ⅱ）已知直线与曲线交于，，设，且，求实数的值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（为参数）；（Ⅱ）．　

【解析】试题（Ⅰ）由，将直线的极坐标方程化为直角坐标方程，再由，得，可得直线的参数方程为（为参数）．（Ⅱ）先根据直线参数方程的几何意义化简条件得，即，再由，将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程（），并将直线参数方程代入曲线的直角坐标方程，最后利用韦达定理代入条件可解得实数的值．

试题解析：（Ⅰ）将，，代入直线的极坐标方程得直角坐标方程，

再将，代入直线的直角坐标方程，得，

所以直线的参数方程为（为参数）．

（Ⅱ）由（），得（）,

由，代入，得（）．

将直线的参数方程与的直角坐标方程联立，得，（*）．

设点，分别对应参数，恰为上述方程的根，则，，，

由题设得，即，

由（*）得，，

则有，得或，

因为，所以．