Question

【题目】如下图，在四棱锥中，平面平面，，，，，点在棱上，且.

（1）证明：；

（2）是否存在实数，使得二面角的余弦值为？若存在，求出实数的值；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）存在，

【解析】

（1）因为平面平面，，所以 ，所以平面，故 ，根据勾股定理得： ，又因为 ，所以根据勾股定理逆定理得： ，故，平面，故：

（2）通过建立空间直角坐标系，通过向量法即可得出的值.

（1）证明：过点作交于，

∵，，，

∴四边形为正方形，且，，

在中，，在中，，

∴，即.

又∵平面平面，平面平面，，平面， .

∴平面，又因为面 ∴.

又∵，面，面 ∴平面，又∵平面，∴.

（2）解：由（1）知平面，∴，，又∵，以点为坐标原点，，，所在的直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，

∴，，，，，，.

假设存在实数，使得二面角的余弦值为，则，

因为点在棱上，∴.

设，由，得，

∴，则，

∵平面，∴平面的一个法向量为.

设平面的一个法向量为，

由，所以 ，令 ，则

故平面的一个法向量为.

∴，

解得，

∴存在实数，使得二面角的余弦值为.