题目内容

求证：2＜（1+
1n
）n＜3（n≥2，n∈N*）．
分析：由二项式定理知（1+
1
n
）n=2+
1
2!
×
n(n-1)
n2
+
1
3!
×
n(n-1)(n-2)
n3
+…+
1
n!
×
n×(n-1)××2×1
nn
＜2+
1
2!
+
1
3!
+
1
4!
+…+
1
n!
＜2+
1
2
+
1
22
+
1
23
+…+
1
2n-1
=2+
1
2
[1-(
1
2
)n-1]
1-
1
2
=3-（
1
2
）n-1＜3．且（1+
1
n
）n=1+1+Cn2×
1
n2
+Cn3×
1
n3
+…+Cnn×
1
nn
＞2．由此知2＜（1+
1
n
）n＜3．
解答：证明：（1+
1
n
）n=Cn0+Cn1×
1
n
+Cn2（
1
n
）2+…+Cnn（
1
n
）n
=1+1+Cn2×
1
n2
+Cn3×
1
n3
+…+Cnn×
1
nn

=2+
1
2!
×
n(n-1)
n2
+
1
3!
×
n(n-1)(n-2)
n3
+…+
1
n!
×
n×(n-1)××2×1
nn

＜2+
1
2!
+
1
3!
+
1
4!
+…+
1
n!
＜2+
1
2
+
1
22
+
1
23
+…+
1
2n-1

=2+
1
2
[1-(
1
2
)n-1]
1-
1
2
=3-（
1
2
）n-1＜3．
显然（1+
1
n
）n=1+1+Cn2×
1
n2
+Cn3×
1
n3
+…+Cnn×
1
nn
＞2．
所以2＜（1+
1
n
）n＜3．
点评：本题考查不等式的性质和应用，解题时要注意二项式定理和放缩法的合理运用．
练习册系列答案
相关题目
（1）求证：Cn1+2Cn2+3Cn3+…+nCnn=n•2n-1 （n∈N*）
（2）设n是满足Cn0+2Cn1+3Cn2+…+（n+1）•Cnn＜1000的最大正整数，求97n除以99的余数．
（3）当n∈N*且n＞1时，求证2＜（1+
1n
）n＜3．
（2011•崇明县二模）已知数列{an}的前n项和为Sn，满足2+2Sn=3an（n∈N*）．数列bn=
1               n=1
an-1
n
        n≥2
．
（1）求证：数列{an}为等比数列；
（2）若对于任意n∈N*，不等式bn≥（n+1）λ恒成立，求实数λ的最大值；
（3）对于数列{bn}中值为整数的项，按照原数列中前后顺序排列得到新的数列{cn}，求数列{cn}的通项公式．
（2008•虹口区二模）已知数列{an}满足a1=2，an+1=2（
n+1n
）2an
（1）求数列{an}的通项公式
（2）设bn=（An2+Bn+C）•2n，是否存在常数A、B、C，使对一切n∈N*，均有an=bn+1-bn成立？若存在，求出常数A、B、C的值，若不存在，说明理由
（3）求证：a1+a2+…+an≤（n2-2n+2）•2n，（ n∈N*）
求证：2＜（1+
1
n
）n＜3（n≥2，n∈N*）．

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