Question

已知：函数f(x)=2cos2(x-

π

4

)-[sin(x+

π

4

)+cos(x+

π

4

)]2(x∈R)．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）当函数f（x）取得最大值时，求自变量x的集合．

Answer 1

分析：利用二倍角公式及诱导公式、和差角公式把已知函数化简为f(x)=

2

sin(2x-

π

4

)
（1）利用三角函数y=Asin（wx+∅）（A＞0，w＞0）周期公式T=

2π

w

（2）利用三角函数y=Asin（wx+∅）（A＞0，w＞0）取最大值的条件wx+∅=

π

2

+2kπ，k∈Z，解x的值

解答：解：f(x)=2cos2(x-

π

4

)-[sin(x+

π

4

)+cos(x+

π

4

)] 2
=1+cos(2x-

π

2

)-[

2

sin(x+

π

2

) ] 2
=1+sin2x-2cos²x=sin2x-cos2x  
=

2

sin(2x-

π

4

)
（1）T=

2π

2

=π
（2）当 f（x）取最大值时，sin(2x-

π

4

)=1，即2x-

π

4

=

π

2

+2kπ?{x|x=kπ+

3π

8

，k∈Z}

点评：本题综合考查了二倍角公式、诱导公式、配凑和差角公式在三角化简中的运用，而对三角函数的性质（定义域、值域、单调性、周期性、奇偶性、对称性、最值）的考查也是近几年高考的热点，要熟练掌握．