Question

[选做题]在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内．
A．（选修4-1：几何证明选讲）
过圆O外一点P分别作圆的切线和割线交圆于A，B，且PB=7，∠ABP=∠ABC，C是圆上一点使得BC=5，求线段AB的长．
B．（选修4-2：矩阵与变换）
求曲线C：xy=1在矩阵

2 2 - 2 2 2 2 2 2

对应的变换作用下得到的曲线C′的方程．
C．（选修4-4：坐标系与参数方程）
已知曲线C₁：

x=3cosθ y=2sinθ

（θ为参数）和曲线C₂：ρsin（θ-

π

4

）=

2

．
（1）将两曲线方程分别化成普通方程；
（2）求两曲线的交点坐标．
D．（选修4-5：不等式选讲）
已知|x-a|＜

c

4

，|y-b|＜

c

6

，求证：|2x-3y-2a+3b|＜c．

Answer 1

分析：A：根据同弧所对的圆周角与弦切角相等，得到∠C=∠BAP，根据所给的两个角相等，得到两个三角形相似，根据相似三角形对应边成比例，得到比例式，代入已知的长度，求出结果．
B：设P（x₀，y₀）为曲线xy=1上的任意一点，在矩阵A变换下得到另一点P'（x'₀，y'₀），根据法则

x0′ y0

=

2 2 - 2 2 2 2 2 2

x0 y0

，求出即 x₀=

2

2

（x0′+y0′），
y₀=

2

2

（ y0′-x0′ ）．再由x₀•y₀=1 可得  ( y0′)2-( x0′)2=2，从而得到曲线C′的方程．
C：把参数方程化为普通方程，把极坐标方程化为直角坐标方程，联立方程组求得求两曲线的交点坐标．
D：由题意可得|2x-2a|＜

c

2

，|3y-3b|＜

c

2

，故|2x-2a|+|3y-3b|＜c．再根据绝对值不等式的性质可得|2x-3y-2a+3b|≤|2x-2a|+|3y-3b|，从而证得不等式．

解答：解：A：∵∠BAC=∠APB，∠C=∠BAP，∴△PAB∽△ACB，∴

AB

BC

=

PB

AB

  AB²=PB•BC=7×5=35，∴AB=

35

．
B：设P（x₀，y₀）为曲线xy=1上的任意一点，在矩阵A变换下得到另一点P'（x'₀，y'₀），
则有

x0′ y0

=

2 2 - 2 2 2 2 2 2

 

x0 y0

，∴x₀′=

2

2

（x₀-y₀），y₀′=

2

2

（x₀+y₀），
即 x₀=

2

2

（x₀′+y₀′），y₀=

2

2

（ y₀′-x₀′ ）．
再由x₀•y₀=1可得 (y0′)2-(x0′)2=2，故的曲线C′的方程为y²-x²=1．
C：（1）把曲线C₁：

x=3cosθ y=2sinθ

（θ为参数），利用同角三角函数基本关系化为普通方程为

x2

9

+

y2

4

=1． 
把曲线C₂：ρsin（θ-

π

4

）=

2

 即

2

2

ρsinθ-

2

2

cosθ=

2

，化为直角坐标为 x-y+2=0．
（2）由

x-y+2=0 x2 9 + y2 4 =1

 解得

x=0 y=2

，或 

x=- 36 13 y=- 10 13

，故两曲线的交点坐标为（0，2）或（-

36

13

，-

10

13

）．
D：∵已知|x-a|＜

c

4

，|y-b|＜

c

6

，∴|2x-2a|＜

c

2

，|3y-3b|＜

c

2

，∴|2x-2a|+|3y-3b|＜c．
再由|2x-3y-2a+3b|=|（2x-2a）-（3y-3b）|≤|2x-2a|+|3y-3b|，
可得|2x-3y-2a+3b|＜c．

点评：本题可选圆的切线的性质的应用，考查同弧所对的圆周角等于弦切角，考查三角形相似的判断和性质．求曲线关于矩阵变换后的曲线方程．把参数方程化为普通方程的方法，把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，求两曲线的交点坐标．绝对值不等式的性质应用，属于中档题．