Question

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知AB=4，AD=3，AA₁=2．E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB=FB=1．
（1）求直线EC₁与FD₁所成角的余弦值；
（2）求二面角C-DE-C₁的平面角的正切值．

Answer 1

【答案】分析：（1）以A为原点，分别为x轴，y轴，z轴的正向建立空间直角坐标系A-xyz，写出要用的点的坐标，把两条直线对应的点的坐标写出来，根据两个向量之间的夹角表示出异面直线的夹角．
（2）设出平面的法向量的坐标，根据法向量与平面上的向量垂直，利用数量积表示出两个向量的坐标之间的关系，求出平面的一个法向量，根据两个向量之间的夹角求出结果．
解答：解：以A为原点，分别为x轴，y轴，z轴的正向建立空间直角坐标系A-xyz，则有D（0，3，0）、D₁（0，3，2）、E（3，0，0）、F（4，1，0）、C₁（4，3，2）．
于是，，．
（1）设EC₁与FD₁所成角为β，则．
（2）设向量=（x，y，z）与平面C₁DE垂直，则有．
∴，其中z＞0．
取n=（-1，-1，2），则是一个与平面C₁DE垂直的向量．
∵向量=（0，0，2）与平面CDE垂直，
∴n与所成的角θ为二面角C-DE-C₁的平面角．
∵，
∴．
点评：本题考查用空间向量求平面间的夹角，本题解题的关键是建立适当的坐标系，写出要用的空间向量，把立体几何的理论推导变成数字的运算，这样降低了题目的难度．