Question

选修4-5：不等式选讲
设函数f（x）=|2x+1|-|x-2|．
（1）求不等式f（x）≤2的解集；
（2）若{x|f（x）≥t²-t}∩{y|0≤y≤1}≠∅，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用f（x）=|2x+1|-|x-2|=

-x-3(x≤- 1 2 ) 3x-1(- 1 2 ＜x＜2) x+3(x≥2)

，分段解不等式f（x）≤2，最后取并集即可；
（2）将问题等价转化为f（x）≥t²-t在x∈[0，1]时有解，从而利用f（x）_max≥t²-t即可求得实数t的取值范围．

解答：解：（1）∵f（x）=|2x+1|-|x-2|=

-x-3(x≤- 1 2 ) 3x-1(- 1 2 ＜x＜2) x+3(x≥2)

，
又f（x）≤2，
∴①

x≤- 1 2 -x-3≤2

或②

- 1 2 ＜x＜2 3x-1≤2

或③

x≥2 x+3≤2

，
解①得：-5≤x≤-

1

2

；
解②得：-

1

2

＜x≤1；
解③得：x∈∅；
综上所述，所求解集为x∈[-5，1]．
（2）依题意得f（x）≥t²-t在x∈[0，1]时有解?f（x）_max≥t²-t，
∵x∈[0，1]，f（x）=3x-1，f（x）_max=2，
则t²-t≤2，
解得-1≤t≤2．
∴实数t的取值范围是[-1，2]．

点评：本题考查绝对值不等式的解法，考查分类讨论思想与等价转化思想的综合运用，考查函数的性质与应用，属于难题．