Question

13．设a≥0，b≥0，$\frac{{b}^{2}}{2}$+a²=1，则a$\sqrt{1-{b}^{2}}$的最大值为1．

Answer 1

分析 由题意可得b²+2a²=2，代入可得a$\sqrt{1-{b}^{2}}$=$\sqrt{2（{a}^{2}-\frac{1}{4}）^{2}-\frac{1}{8}}$，又可得$\frac{1}{2}$≤a²≤1，由二次函数区间的值域可得．

解答 解：∵a≥0，b≥0，$\frac{{b}^{2}}{2}$+a²=1，
∴b²+2a²=2，∴1-b²=2a²-1，
∴a$\sqrt{1-{b}^{2}}$=a$\sqrt{2{a}^{2}-1}$=$\sqrt{{a}^{2}（2{a}^{2}-1）}$
=$\sqrt{2{a}^{4}-{a}^{2}}$=$\sqrt{2（{a}^{2}-\frac{1}{4}）^{2}-\frac{1}{8}}$，
∵b²=2-2a²≥0，1-b²=2a²-1≥0，
∴$\frac{1}{2}$≤a²≤1，由二次函数可知，
当a²=1时，a$\sqrt{1-{b}^{2}}$取最大值1，
故答案为：1．

点评 本题考查函数的值域，涉及二次函数的值域，属中档题．