Question

在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BC=2，∠ABC=120°，侧面A₁ACC₁⊥底面ABC，侧棱AA₁与底面ABC成60°角，D为AC的中点．
（Ⅰ）求证：BD⊥AA₁；
（Ⅱ）若∠A₁DC₁=90°，求三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积．

Answer 1

分析：（I）根据已知中AB=BC，D为AC的中点，我们根据等腰三角形三线合一，得到BD⊥AC，结合侧面A₁ACC₁⊥底面ABC，结合面面垂直的性质定理，我们易得到BD⊥侧面A₁ACC₁，利用线面垂直的定义，即可得到答案．
（II）若∠A₁DC₁=90°，结合（1）的结论，利用余弦定理我们可求出侧棱长，结合侧棱AA₁与底面ABC成60°角，AB=BC=2，∠ABC=120°，我们计算出棱柱的底面积和高后，即可得到三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积．

解答：解：（I）证明：∵AB=BC，D为AC的中点，
∴BD⊥AC
又∵侧面A₁ACC₁⊥底面ABC，C底面ABC，
∴BD⊥侧面A₁ACC₁，
又∵AA₁?侧面A₁ACC₁，
∴BD⊥AA₁；
（II）∵∠AA₁D为AA₁与底面ABC所成的角
∴∠AA₁D=60°
设侧棱长为a，由于AC=2

3

则A₁D²=a²+AD²-2a•ADcos60°=a2+3-

3

a
同理则C₁D²=a2+3+

3

a
又由∠A₁DC₁=90°，
则A₁D²+C₁D²=A₁C₁²，即2a2+6=(2

3

)2
∴a=

3

过A₁作A₁O⊥AC，垂足为O，
∵面A₁ACC₁⊥底面ABC，
∴A₁O⊥面ABC
易知A₁O=A₁A•sin60°=

3

•

3

2

=

3

2

∴VABC-A1B1C1=S_△aBC•A₁O=

1

2

•22•sin120°•

3

2

=

3 3

2

点评：本题考查的知识点是棱柱的体积公式，及空间中直线与直线之间的位置关系，其中求棱柱体积时，关键的步骤是求出棱柱的底面积和棱柱的高．