Question

18．设正三棱锥V-ABC的底面边长为4，侧棱长为8，过A作与侧棱VB，VC相交的截面AED，求截面三角形AED的周长的最小值．

Answer 1

分析 根据给出的正三棱锥的侧棱长和底面边长知，两条侧棱的夹角为锐角，然后求出该锐角的三倍角的余弦值，使原图形中的△AEF的周长最小，就是求沿PA剪开再展开后A点与A′点的最短距离，即直线距离，运用余弦定理可求解．

解答 解：沿三棱锥V-ABC的侧棱VA剪开后再展开，如图，
原图中△AED的周长最小，也就是展开图中的AA′，
在△VAB中，因为VA=VB=8，AB=4，
设∠APB=α，则cosα=$\frac{{VA}^{2}+{VB}^{2}-{AB}^{2}}{2VA•VB•}$=$\frac{{8}^{2}+{8}^{2}-{4}^{2}}{2×8×8}$=$\frac{7}{8}$．
∠AVA′=3α，
由cos3α=4cos³α-3cosα=4×（$\frac{7}{8}$）3-3×$\frac{7}{8}$=$\frac{7}{128}$．
在△APA′中，由余弦定理得：
AA^′2=VA²+VA^′2-2VA•VA′cos3α
=82+82-2×8×8×$\frac{7}{128}$
=121．
所以，AA′=11．
所以，△AED的周长最小值为11．

点评 本题考查了棱锥的结构特征，考查了距离最短问题，该类问题通常比喻“蚂蚁爬行问题”，解答的方法是沿一定的棱或母线把多面体或旋转体剪开，然后再展开，求两点间的直线距离问题，是中档题．