Question

已知数列{a_n}，{b_n}满足：a₁=3b₁=3，a₂=6，b_n+1=2b_n-2ⁿ，b_n=a_n-na_n-1（n≥2，n∈N^*）．
（I）探究数列{

bn

2n

}是等差数列还是等比数列，并由此求数列{b_n}的通项公式；
（II）求数列{na_n}的前n项和S_n．

Answer 1

（I）∵b_n+1=2b_n-2ⁿ ，∴b_n+1-2b_n =-2ⁿ ，∴

bn+1

2n+1

- 

bn

2n

=-

1

2

．
∴数列{

bn

2n

 }构成以

1

2

为首项，以-

1

2

为公差的等差数列，∴

bn

2n

=

1

2

-

1

2

 （n-1），
∴b_n=2n(1-

n

2

 ）．
（II）∵b_n=a_n-na_n-1，∴a_n-2ⁿ=na_n-1-n2^n-1=n（ a_n-1-2^n-1 ），
∴

an-  2n

an-1-2n-1

=n，
∴

an- 2n

a1-2

=

an- 2n

an-1-2n-1

•

an-1-2n-1

an-2-2n-2

•

an-2-2n-2

an-3-2n-3

…

a2-22

a1-2

 
=n（n-1）（n-2）×…×3×2，又 a₁=3，故 a_n=n（n-1）（n-2）×…×3×2×1+2ⁿ，
na_n=n×n（n-1）（n-2）×…×3×2×1+n 2ⁿ=（n+1）!-n!+n 2ⁿ，
∴s_n=（2!-1!）+（3!-2!）+（4!-3!）+…+（（n+1）!-n!）+（1×2+2×2²+…+n2ⁿ ）
=（n+1）!-1+（ 1×2+2×2²+…+n2ⁿ ）．
令T_n=1×2+2×2²+…+n2ⁿ，①则 2T_n=1×2²+2×2³+…+n 2ⁿ⁺¹，②
①-②可得，-T_n=2+2²+2³+…-n 2ⁿ⁺¹，∴T_n=（n-1）2ⁿ⁺¹+2，
∴s_n=（n+1）!+（n-1）2ⁿ⁺¹+1．