Question

已知锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且．
（1）求角C的大小；
（2）若a=4，设D是BC的中点，，求△ABC的面积．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据两角和的正弦公式和二倍角三角函数公式，将已知等式化简整理得：sinC+cosC=2sinCcosC+，再因此分解得（2cosC-1）（-sinC）=0，最后结合△ABC是锐角三角形，可得出C=；
（2）D是BC的中点，得=（+），代入并化简整理，得2=3•=||•||，
因此，||=||即b=a=3，再由正弦定理的面积公式，即可算出△ABC的面积．
解答：解：（1）∵
∴2（sinCcos+cosCsin）=2sinCcosC+
即sinC+cosC=2sinCcosC+，移项整理得：（2cosC-1）（-sinC）=0
∴cosC=或sinC=，结合C为锐角，可得C=
（2）∵D是BC的中点，得=（+）
∴即（+）•=2•
化简整理，得=3•=3（+）•
∴2=3•=3||•||cosC=||•||
因此，||=||即b=a=3
∴△ABC的面积S=absinC=×4×3×sinC=3．
点评：本题给出锐角三角形，在已知三角等式的情况下求角C的大小，求三角形的面积，着重考查了两角和的正弦公式、正弦定理和向量数量积的运算公式等知识，属于中档题．