Question

如图所示，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AD=2，E、F、G分别为PC、PD、BC的中点．
（Ⅰ）求证：PA∥平面EFG；
（Ⅱ）求三棱锥P-EFG的体积．

Answer 1

分析：（I）取AD的中点H，连接GH，FH，说明PA不在平面EFG，FH在平面EFG，证明PA平行平面EFG内的直线FH即可证明PA∥平面EFG；
（II）利用转化法VP-EFG=VG-PEF=

1

3

S△PEF•GC，求出底面面积和高，求三棱锥P-EFG的体积．

解答：解（I）：如图，取AD的中点H，连接GH，FH，
∵E，F分别为PC，PD的中点，∴EF∥CD．
∵G，H分别为BC，AD的中点，
∴GH∥CD．∴EF∥GH．∴E，F，H，G四点共面．（4分）
∵F，H分别为DP，DA的中点，
∴PA∥FH．
∵PA不在平面EFG，FH?平面EFG，
∴PA∥平面EFG．（6分）
（II）解：∵PD⊥平面ABCD，GC?平面ABCD，
∴GC⊥PD．
∵ABCD为正方形，∴GC⊥CD．∵PD∩CD=D，
∴GC⊥平面PCD．（8分）
∵PF=

1

2

PD=1，EF=

1

2

CD=1，
∴S△PEF=

1

2

EF×PF=

1

2

．
∵GC=

1

2

BC=1，
∴VP-EFG=VG-PEF=

1

3

S△PEF•GC=

1

3

×

1

2

×1=

1

6

（12分）

点评：本题考查直线与平面平行的判定，棱柱、棱锥、棱台的体积，考查计算能力，是中档题．