Question

已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），左顶点为(

3

，0)．
（1）求双曲线C的方程
（2）若直线y=kx+m（k≠0，m≠0）与双曲线C交于不同的两点M、N，且线段MN的垂直平分线过点A（0，-1），求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设双曲线的标准方程，依题意可知a和c，进而根据a²+b²=c²求得b，则双曲线方程可得．
（2）把直线方程与双曲线方程联立，消去y，利用判别式大于0求得m和k的不等式关系，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN的中点为B（x₀，y₀）．根据韦达定理表示出x₀和y₀，根据AB⊥MN，可知AB的斜率为-

1

k

，进而求得k和m的关系，最后综合可求得m的范围．

解答：解：（I）设双曲线方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0).
由已知得a=

3

，c=2，a2+b2=c2，得b2=1.
故双曲线C的方程为

x2

3

-y2=1．
（II）联立

y=kx+m x2 3 -y2=1.

整理得（1-3k²）x²-6kmx-3m²-3=0．
∵直线与双曲线有两个不同的交点，
∴

1-3k2≠0 △=12(m2+1-3k2)＞0.

可得m²＞3k²-1．①
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN的中点为B（x₀，y₀）．
则x1+x2=

6km

1-3k2

，x0=

x1+x2

2

=

3km

1-3k2

，y0=kx0+m=

m

1-3k2

.
由题意，AB⊥MN，∴kAB=

m 1-3k2 +1

3km 1-3k2

=-

1

k

(k≠0，m≠0).
整理得3k²=4m+1．②
将②代入①，得m²-4m＞0，∴m＜0或m＞4．
又3k²=4m+1＞0（k≠0），即m＞-

1

4

．
∴m的取值范围是（-

1

4

，0）∪（4，+∞）．

点评：本题主要考查了双曲线的应用．考查了学生综合分析问题和基本的运算能力．