Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=-

2

3

，S_n+

1

Sn

=a_n-2（n≥2，n∈N）
（1）求S₂，S₃，S₄的值；
（2）猜想S_n的表达式；并用数学归纳法加以证明．

Answer 1

（1）S₁=a₁=-

2

3

，∵S_n+

1

Sn

=a_n-2（n≥2，n∈N），令n=2可得
，S₂+

1

S2

=a₂-2=S₂-a₁-2，∴

1

S2

=

2

3

-2，∴S₂=-

3

4

．
同理可求得 S₃=-

4

5

，S₄=-

5

6

．
（2）猜想S_n =-

n+1

n+2

，n∈N₊，下边用数学归纳法证明：
①当n=2时，S₂=a₁+a₂=-

3

4

，猜想成立．
②假设当n=k时猜想成立，即S_K=-

K+1

K+2

．
则当n=k+1时，∵S_n+

1

Sn

=a_n-2，∴SK+1+

1

SK+1

=ak+1-2，
∴SK+1+

1

SK+1

=SK+1-SK-2，∴

1

SK+1

=

K+1

K+2

-2=

-K-3

K+2

，
∴S_K+1=-

K+2

K+3

，∴当n=k+1时，猜想仍然成立．
综合①②可得，猜想对任意正整数都成立，即 S_n =-

n+1

n+2

，n∈N₊成立．