Question

已知函数f(x)=x2+alnx+

2

x

在（1，4）上是减函数，则实数a的取值范围是（　　）

• A．a≤3

  6

• B．a＜-

  63

  2

• C．a≤-

  63

  2

• D．a＜3

  6

Answer 1

分析：求出原函数的导函数，由函数f(x)=x2+alnx+

2

x

在（1，4）上是减函数得其导函数在x∈（1，4）时小于等于0恒成立，分离变量后再利用导数分析单调性，从而求出a的范围．

解答：解：由f(x)=x2+alnx+

2

x

，得f′(x)=2x+

a

x

-

2

x2

=

2x3+ax-2

x2

，
因为f(x)=x2+alnx+

2

x

在（1，4）上是减函数，
所以当x∈（1，4）时，2x³+ax-2≤0恒成立，
即a≤-2x2+

2

x

在x∈（1，4）时恒成立，
令u=-2x2+

2

x

，则u′=-4x-

2

x2

＜0，
所以u=-2x2+

2

x

在x∈（1，4）上为减函数，此时umin=-2×42+

2

4

=-

63

2

．
所以a≤-

63

2

．
故选C．

点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，考查了分离变量法求函数的最值，是中档题．