题目内容
（2011•延庆县一模）上海世博会期间，某校组织了共有16名学生参加的志愿者团队，其中女生9人，男生7人，女生中共有5人带了学生证，男生中共有4人带了学生证．
（Ⅰ）在该团队中随机采访3名学生，求恰有1名女生持有学生证且至多有1名男生持有学生证的概率；
（Ⅱ）在该团队中随机采访3名女生，设其中持有学生证的人数为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望．
（Ⅰ）在该团队中随机采访3名学生，求恰有1名女生持有学生证且至多有1名男生持有学生证的概率；
（Ⅱ）在该团队中随机采访3名女生，设其中持有学生证的人数为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望．
分析：（Ⅰ）从16名学生中随机采访三名学生，方法总数为C163，设恰有一名女生持有学生证至多有一名男生持有学生证为事件A，恰有一名女生持有学生证，且i名男生持有学生证为事件Ai，i=0，1，求出P（A1）与P（A2），最后根据互斥事件概率公式可知P（A）=P（A1）+P（A2）；
（Ⅱ）由题意可知ξ=0，1，2，3，然后利用等可能事件的概率公式分别求出相应的概率，得到ξ的分布列，最后利用数学期望公式解之即可．
（Ⅱ）由题意可知ξ=0，1，2，3，然后利用等可能事件的概率公式分别求出相应的概率，得到ξ的分布列，最后利用数学期望公式解之即可．
解答：解：（Ⅰ）从16名学生中随机采访三名学生，方法总数为
=
=560…（2分）
设恰有一名女生持有学生证至多有一名男生持有学生证为事件A，
恰有一名女生持有学生证，且i名男生持有学生证为事件Ai，i=0，1
则 P(A1)=
=
=
…（3分）
P(A0)=
=
=
…（4分）
∴P(A)=
+
=
为所求 …（6分）
（Ⅱ）由题意可知ξ=0，1，2，3…（7分）
P(ξ=0)=
=
，P(ξ=1)=
=
=
，P(ξ=2)=
=
=
，P(ξ=3)=
=
=
…（11分）
因此ξ的分布列为：
Eξ=0×
+1×
+2×
+3×
=
=
…（13分）
| C | 3 16 |
| 16×15×14 |
| 3×2×1 |
设恰有一名女生持有学生证至多有一名男生持有学生证为事件A，
恰有一名女生持有学生证，且i名男生持有学生证为事件Ai，i=0，1
则 P(A1)=
| ||||||
|
| 140 |
| 560 |
| 1 |
| 4 |
P(A0)=
| ||||||
|
| 105 |
| 560 |
| 3 |
| 16 |
∴P(A)=
| 1 |
| 4 |
| 3 |
| 16 |
| 7 |
| 16 |
（Ⅱ）由题意可知ξ=0，1，2，3…（7分）
P(ξ=0)=
| ||
|
| 4 |
| 84 |
| ||||
|
| 30 |
| 84 |
| 15 |
| 42 |
| ||||
|
| 40 |
| 84 |
| 10 |
| 21 |
| ||||
|
| 10 |
| 84 |
| 5 |
| 42 |
因此ξ的分布列为：
| ξ | 0 | 1 | 2 | 3 | ||||||||
| P（ξ） |
|
|
|
|
| 1 |
| 21 |
| 15 |
| 42 |
| 10 |
| 21 |
| 5 |
| 42 |
| 50 |
| 42 |
| 25 |
| 21 |
点评：本题主要考查了等可能事件的概率，以及离散型随机变量的数学期望和分布列，同时考查了计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
（2011•延庆县一模）右图是一个三棱锥的直观图和三视图，其三视图均为直角三角形，则b=（ ）