Question

19．抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F，点O是坐标原点，过点O，F的圆与抛物线C的准线相切，且该圆的面积为36π，则抛物线的方程为y²=16x．

Answer 1

分析 由题意画出图形，结合三角形的面积求出半径，再由M的坐标相等求得p，则抛物线方程可求．

解答 解：如图，

由题意可知，圆的圆心M在抛物线上，
又圆的面积为36π，
∴半径|OM|=6，
则|MF|=${x}_{M}+\frac{p}{2}=6$，即${x}_{M}=6-\frac{p}{2}$，
又${x}_{M}=\frac{p}{4}$，∴$\frac{p}{4}=6-\frac{p}{2}$，解得：p=8．
∴抛物线方程为：y²=16x．
故答案为：y²=16x．

点评 本题考查了抛物线的几何性质，考查了数学结合的解题思想方法，训练了抛物线焦半径公式的应用，是中档题．