Question

已知函数f（x）=x²-4，设曲线y=f（x）在点（x_n，f（x_n））处的切线与x轴的交点为（x_n+1，0）（n∈N*），其中x₁为正实数．
（Ⅰ）用x_n表示x_n+1；
（Ⅱ）若x₁=4，记，证明数列{a_n}成等比数列，并求数列{x_n}的通项公式；
（Ⅲ）若x₁=4，b_n=x_n-2，T_n是数列{b_n}的前n项和，证明T_n＜3．

Answer 1

解：（Ⅰ）由题可得f′（x）=2x．
所以曲线y=f（x）在点（x_n，f（x_n））处的切线方程是：y-f（x_n）=f′（x_n）（x-x_n）．
即y-（x_n²-4）=2x_n（x-x_n）．
令y=0，得-（x_n²-4）=2x_n（x_n+1-x_n）．
即x_n²+4=2x_nx_n+1．
显然x_n≠0，∴．

（Ⅱ）由，知，
同理，故．
从而，即a_n+1=2a_n．所以，数列{a_n}成等比数列．
故．
即．
从而
所以

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，
∴
∴
当n=1时，显然T₁=b₁=2＜3．
当n＞1时，
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n==．
综上，T_n＜3（n∈N*）．
分析：（Ⅰ）由题设条件知曲线y=f（x）在点（x_n，f（x_n））处的切线方程是y-（x_n²-4）=2x_n（x-x_n）．
由此可知x_n²+4=2x_nx_n+1．所以．
（Ⅱ）由，知，同理．
故．由此入手能够导出．
（Ⅲ）由题设知，所以，由此可知T_n＜3（n∈N*）．
点评：本题综合考查数列、函数、不等式、导数应用等知识，以及推理论证、计算及解决问题的能力．