题目内容

定义：若存在常数k，使得对定义域D内的任意两个不同的实数x₁，x₂，，均有：|f（x₁）-f（x₂）|≥k|x₁-x₂|成立，则称f（x）在D上满足利普希茨（Lipschitz）条件．对于函数 $数学公式$ 在区间（0，+∞）满足利普希茨条件，则常数k的最大值为________．

2
分析：由所给的定义，将：|f（x₁）-f（x₂）|≥k|x₁-x₂|成立变为 $\text{[math]}$ ，此意义为k小于等于函数的导数的绝对值的最小值．由此关系求k
解答：由题意：|f（x₁）-f（x₂）|≥k|x₁-x₂|成立变为 $\text{[math]}$ ，
∵函数 $\text{[math]}$ 在区间（0，+∞）满足利普希茨条件
∴ $\text{[math]}$
又x∈（0，+∞）
故 $\text{[math]}$ ≥2在区间（0，+∞）恒成立
故常数k的最大值为2
故答案为2
点评：本题考查函数的最值的应用，求解本题的关键是正确理解定义且能对 $\text{[math]}$ 进行转化，转变为求导数的最小值来求参数的取值范围，本题易因为对导数的意义与本题中所给的定义不理解而导致错误，解题时要注意积累这方面的转化经验．

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（1）试举出一个满足利普希茨（Lipschitz）条件的函数及常数k的值，并加以验证；
（2）若函数f(x)=

在[1，+∞)上满足利普希茨（Lipschitz）条件，求常数k的最小值；
（3）现有函数f（x）=sinx，请找出所有的一次函数g（x），使得下列条件同时成立：
①函数g（x）满足利普希茨（Lipschitz）条件；
②方程g（x）=0的根t也是方程f(

=-1；
③方程f（g（x））=g（f（x））在区间[0，2π）上有且仅有一解．

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(x≥1)满足利普希茨条件，则常数k的最小值应是（　　）