题目内容

定义：若存在常数k，使得对定义域D内的任意两个不同的实数x1，x2，，均有：|f（x1）-f（x2）|≤k|x1-x2|成立，则称f（x）在D上满足利普希茨（Lipschitz）条件．对于函数f（x）=sinx满足利普希茨条件，则常数k的最小值为
 
．
分析：由题意可以将：|f（x1）-f（x2）|≤k|x1-x2|变为k≥
|f(x1)-f(x2)|
|x1-x2|
，由其几何意义可求
解答：解：由题意：|f（x1）-f（x2）|≤k|x1-x2|变为k≥
|f(x1)-f(x2)|
|x1-x2|
，
|f(x1)-f(x2)|
|x1-x2|
表示函数f（x）=sinx图象上任意两点之间的连线的斜率的绝对值
由于f′（x）=cosx∈[-1，1]
故
|f(x1)-f(x2)|
|x1-x2|
≤1
所以常数k的最小值为1
故答案为1
点评：本题是一个新定义的题，考查对新定义的理解能力及根据新定义的规则解答问题的能力，新定义以其考查理解领会能力的独有优越性在近几年的高考中时有出现，应引起重视．
练习册系列答案
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定义：若存在常数k，使得对定义域D内的任意两个不同的实数x1，x2，，均有：|f（x1）-f（x2）|≥k|x1-x2|成立，则称f（x）在D上满足利普希茨（Lipschitz）条件．对于函数f(x)=lnx+
12
x2在区间（0，+∞）满足利普希茨条件，则常数k的最大值为
 
．
定义：若存在常数k，使得对定义域D内的任意两个不同的实数x1，x2，均有|f（x1）-f（x2）|≤k（x1-x2|成立，则称函数f（x）在定义域D上满足利普希茨条件．对于函数f（x）=
x
（x≥1）满足利普希茨条件，则常数k的最小值应是（　　）
（理）定义：若存在常数k，使得对定义域D内的任意两个不同的实数x1，x2，均有：|f（x1）-f（x2）|≤k|x1-x2|成立，则称f（x）在D上满足利普希茨（Lipschitz）条件．
（1）试举出一个满足利普希茨（Lipschitz）条件的函数及常数k的值，并加以验证；
（2）若函数f(x)=
x+1
在[1，+∞)上满足利普希茨（Lipschitz）条件，求常数k的最小值；
（3）现有函数f（x）=sinx，请找出所有的一次函数g（x），使得下列条件同时成立：
①函数g（x）满足利普希茨（Lipschitz）条件；
②方程g（x）=0的根t也是方程f(
3π
4
)=
2
sin(
3π
2
-
π
4
)=-
2
cos
π
4
=-1；
③方程f（g（x））=g（f（x））在区间[0，2π）上有且仅有一解．
定义：若存在常数k，使得对定义域D内的任意两个不同的实数x1，x2，均有|f(x1)-f(x2)|≤k|x12-x22|成立，则称函数f（x）在定义域D上满足类利普希茨条件．对于函数f(x)=
x
(x≥1)满足利普希茨条件，则常数k的最小值应是（　　）

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