Question

数列{a_n}的各项均为正数，S_n为其前n项和，对于任意n∈N^*，总有an，Sn，an2成等差数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=

1

(n+1)•an

，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知：对于n∈N^*，总有2Sn=an+an2成立，再写一式，两式相减，可得数列{a_n}是公差为1的等差数列，从而可求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）利用裂项法，可求数列{b_n}的前n项和T_n．

解答：解：（Ⅰ）由已知：对于n∈N^*，总有2Sn=an+an2①成立
∴2Sn-1=an-1+an-1 2（n≥2）②
①-②得2an=an+an2-an-1-an-12
∴a_n+a_n-1=（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1）
∵a_n，a_n-1均为正数，∴a_n-a_n-1=1（n≥2）
∴数列{a_n}是公差为1的等差数列
又n=1时，2S1=a1+a12，解得a₁=1，
∴a_n=n．（n∈N^*）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知 bn=

1

(n+1)•n

=

1

n

-

1

n+1

∴Tn=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)=

n

n+1

点评：本题考查等差数列的通项，考查数列的求和，确定数列的通项是关键．