Question

已知函数f（x）=

1

2

ax²+（1-a）x-1-lnx，a∈R．
（1）若a=2，求函数的单调减区间．
（2）若函数在区间（3，6）上存在单调递增区间，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求导数，利用导数小于0，可得函数的单调减区间．
（2）求导数，利用导数大于0，结合函数在区间（3，6）上存在单调递增区间，可求a的取值范围．

解答：解：（1）函数的定义域为（0，+∞）
a=2时，f′(x)=2x-1-

1

x

=

(x-1)(2x+1)

x

，
∵x＞0，
∴x＞1时，f′（x）＞0，函数单调增；
0＜x＜1时，f′（x）＜0，函数单调减，∴函数的单调减区间为（0，1）；
（2）求导函数可得f′(x)=ax+1-a-

1

x

=

ax2+(1-a)x-1

x

令f′（x）＞0，则∵x＞0，∴（x-1）（ax+1）＞0
∵函数在区间（3，6）上存在单调递增区间，
∴

2(3a+1)＞0 5(6a+1)＞0

∴a＞-

1

6

．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，正确求导是关键．