Question

已知数列{b_n}中，，b_n+1b_n=b_n+2．数列{a_n}满足：
（Ⅰ）求证：a_n+1+2a_n+1=0；
（Ⅱ） 求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ） 求证：（-1）b₁+（-1）²b₂+…+（-1）ⁿb_n＜1（n∈N^*）

Answer 1

证明：（Ⅰ），移向整理得a_n+1+2a_n+1=0
解：（Ⅱ）∵a_n+1=-2a_n-1∴
又 ∴为等比数列
∴∴
证明：（Ⅲ）∴
①当n为奇数时（-1）ⁿb_n+（-1）ⁿ⁺¹b_n+1==
（-1）b₁+（-1）²b₂+…+（-1）ⁿb_n=
②当n为偶数时，（-1）b₁+（-1）²b₂+…+（-1）ⁿb_n
综上所述，（-1）b₁+（-1）²b₂+…+（-1）ⁿb_n＜1
分析：（Ⅰ） 由已知，得出，移向整理即可．
（Ⅱ）在（Ⅰ） 的基础上，构造出，通过求出的通项公式，得出{a_n}的通项公式．
（Ⅲ）由上应得出，考虑到（-1）ⁿ的取值，宜相邻两项结合，借助放缩法寻求解决．
点评：本题是数列与不等式的综合．考查数列的递推关系，通项公式、不等式的证明．考查变形、构造、转化、计算的能力．