Question

（2006•朝阳区三模）在平面直角坐标系中，右焦点为F（c，0）的椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）经过点B（0，-1），向量

FG

=（λ-c，λ）（λ∈R），且|

FG

|的最小值为1．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若以

m

=（1，k）（k≠0）为方向向量的直线l与曲线C相交于M、N两点，使|

BM

|=|

BN

|，且

BM

与

BN

的夹角为60°，试求出k值及直线l的方程．

Answer 1

分析：（I）利用向量的模的计算公式和二次函数的单调性即可得出c，又椭圆C经过点B（0，-1），解得b²即可；
（II）设l的方程为：y=kx+m，M（x₁，y₁）N（x₂，y₂），把直线l的方程与椭圆方程联立可得△＞0及根与系数的关系，再利用垂直平分线的性质可得线段MN的垂直平分线的方程，根据△BMN为等边三角形．可得点B到直线MN的距离d=

3

2

|MN|．再利用点到直线的距离公式和弦长公式即可得出．

解答：解：（Ⅰ）∵|

FG

|=

(λ-c)2+λ2

=

2(λ- c 2 )2+ c2 2

≥

2

2

c．
∴

2

2

c=1，即c=

2

．
又椭圆C经过点B（0，-1），解得b²=1．
所以a²=2+1=3．故椭圆C的方程为

x2

3

+y2=1．
（Ⅱ）设l的方程为：y=kx+m，M（x₁，y₁）N（x₂，y₂），

y=kx+m x2+3y2=3

得（1+3k²）x²+6kmx+3m²-3=0．
则x₁+x₂=-

6km

1+3k2

，x1x2=

3m2-3

1+3k2

．
△=36k²m²-12（m²-1）（1+3k²）=12[3k²-m²+1]＞0     ①
设线段MN的中点G（x₀，y₀），
x₀=

x1+x2

2

=-

3km

1+3k2

，y0=kx0+m=-

3k2m

1+3k2

+m=

m

1+3k2

．
线段MN的垂直平分线的方程为：y-

m

1+3k2

=-

1

k

(x+

3km

1+3k2

)．
∵|

BM

|=|

BN

|，∴线段MN的垂直平分线过B（0，-1）点．
∴-1-

m

1+3k2

=-

1

k

•

3km

1+3k2

=-

3m

1+3k2

．
∴m=

1+3k2

2

．②
②代入①，得3k²-(

1+3k2

2

)2+1＞0，解得-1＜k＜1，且k≠0．③
∵|

BM

|=|

BN

|，且

BM

与

BN

的夹角为60°，∴△BMN为等边三角形．
∴点B到直线MN的距离d=

3

2

|MN|．
∵d=

|1+m|

1+k2

=

|1+ 1+3k2 2 |

1+k2

=

3

2

1+k2

，
又∵|MN|=

1+k2

|x1-x2|=

1+k2

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+k2

(- 6km 1+3k2 )2-4× 3m2-3 1+3k2

=

1+k2

1+3k2

12(3k2-m2+1)

=

1+k2

1+3k2

12[3k2-( 1+3k2 2 )2+1]

=3

1+k2

1+3k2

1-k2

，
∴

3

2

1+k2

=

3 3

2

1+k2

1+3k2

1-k2

．
解得k²=

1

3

，即k=±

3

3

，满足③式．代入②，得m=

1+3k2

2

=

1+1

2

=1．
直线l的方程为：y=±

3

3

x+1．

点评：熟练掌握直线与椭圆相交问题转化为把直线l的方程与椭圆方程联立可得△＞0及根与系数的关系、垂直平分线的性质、等边三角形的性质、点到直线的距离公式和弦长公式等是解题的关键．