Question

已知函数f（x）=lnx+ax²-（2a+1）x（其中常数a≠0）．
（1）当a=1时，求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）在 x=1处取得极值，且在（0，e]上的最大值为1，求a的值．

Answer 1

分析：（1）由函数的解析式，可求出函数导函数的解析式，进而根据f′（x）=0，可构造关于a，b的方程，根据a=1求出b值；可得函数导函数的解析式，分析导函数值大于0和小于0时，x的范围，可得函数f（x）的单调区间；
（2）对函数求导，写出函数的导函数等于0的x的值，则f′（1）=0，又由函数在（0，e]上的最大值为1，讨论a，得出极值，把极值同端点处的值进行比较得到最大值，最后利用条件建立关于a的方程求得结果．

解答：解：（1）当a=1时，因为f（x）=lnx+ax²-3x，所以x＞0，
f′（x）=

1

x

+2x-3=

2x2-3x+1

x

令f′（x）=0，解得x1=

1

2

，x₂=1                            
当0＜x＜

1

2

时，f′（x）＞0，所以函数f（x）在（0，

1

2

）上单调递增；
当

1

2

＜x＜1时，f′（x）＜0，所以函数f（x）在（

1

2

，1）上单调递减；
当x＞1时，f′（x）＞0，所以函数f（x）在（1，+∞）上单调递增；
所以f（x）的单调递增区间为（0，

1

2

），（1，+∞），单调递减区间为（

1

2

，1）；
（2）因为f′（x）=

(2ax-1)(x-1)

x

令f′（x）=0，x₁=1，x₂=

1

2a

因为f（x）在 x=1处取得极值，所以x₂=

1

2a

≠x₁=1，
①当

1

2a

＜0时，f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，e]上单调递减
所以f（x）在区间（0，e]上的最大值为f（1），
令f（1）=1，解得a=-2
②当a＞0，x₂=

1

2a

＞0
（i）当

1

2a

＜1时，f（x）在（0，

1

2a

）上单调递增，（

1

2a

，1）上单调递减，（1，e）上单调递增
所以最大值1可能在x=

1

2a

或x=e处取得
而f（

1

2a

）=ln

1

2a

+a（

1

2a

）²-（2a+1）•

1

2a

=ln

1

2a

-

1

4a

-1＜0
所以f（e）=lne+ae²-（2a+1）e=1，解得a=

1

e-2

，
（ii）当1≤

1

2a

＜e时，f（x）在区间（0，1）上单调递增，（1，

1

2a

）上单调递减，（

1

2a

，e）上单调递增
所以最大值1可能在x=1或x=e处取得
而f（1）=ln1+a-（2a+1）＜0
所以f（e）=lne+ae²-（2a+1）e=1，
解得a=

1

e-2

，与1＜x₂=

1

2a

＜e矛盾
（iii）当x₂=

1

2a

≥e时，f（X）在区间（0，1）上单调递增，在（1，e）单调递减，
所以最大值1可能在x=1处取得，而f（1）=ln1+a-（2a+1）＜0，矛盾
综上所述，a=

1

e-2

或a=-2．

点评：本题考查的知识点是利用导数研究函数的极值，利用导数研究函数的单调性，以及利用导数研究函数在闭区间上的最值，其中根据已知条件确定a，b值，得到函数导函数的解析式并对其符号进行分析，是解答的关键．属于中档题．