Question

已知各项均不相等的正项数列{a_n}，{b_n}的前n项和分别为S_n，T_n．
（1）若{a_n}，{b_n}为等差数列，求证：

lim

n→∞

an

bn

=

lim

n→∞

Sn

Tn

．
（2）将（1）中的数列{a_n}，{b_n}均换作等比数列，请给出使

lim

n→∞

an

bn

=

lim

n→∞

Sn

Tn

成立的条件．

Answer 1

分析：（1）设{a_n}，{b_n}的公差分别为d₁，d₂，则

lim

x→∞

an

bn

=

lim

x→∞

a1+(n-1)d1

b1+(n-1)d2

=

d1

d2

，由此入手能够证明

lim

x→∞

an

bn

=

lim

x→∞

Sn

Tn

．
（2）设{a_n}，{b_n}的公比分别为q₁，q₂，则

lim

n→∞

an

bn

=

lim

n→∞

a1q1n-1

b1q2n-1

=

a1

b1

lim

n→∞

(

q1

q2

)n-1=

a1 b1 (q1=q2) 0(q1＜q2).

，

lim

n→∞

Sn

Tn

=

a1(1-q2)

b1(1-q1)

lim

n→∞

1-q1n

1-q2n

=

a1 b1 (q1=q2) a1(1-q2) b1(1-q1) (0＜q1＜1，0＜q2＜1) 0(0＜q1＜q2，q2＞1).

，由此能够求出使

lim

n→∞

an

bn

=

lim

n→∞

Sn

Tn

成立的条件．

解答：解：（1）证明：设{a_n}，{b_n}的公差分别为d₁，d₂（d₁，d₂均不为0），则

lim

x→∞

an

bn

=

lim

x→∞

a1+(n-1)d1

b1+(n-1)d2

=

d1

d2

，…（4分）

lim

x→∞

Sn

Tn

lim

x→∞

na1+ n(n-1) 2 d1

nb1+ n(n-1) 2 d2

=

d1

d2

，
所以

lim

x→∞

an

bn

=

lim

x→∞

Sn

Tn

．…（8分）
（2）设{a_n}，{b_n}的公比分别为q₁，q₂（q₁，q₂均为不等于1的正数），则

lim

n→∞

an

bn

=

lim

n→∞

a1q1n-1

b1q2n-1

=

a1

b1

lim

n→∞

(

q1

q2

)n-1=

a1 b1 (q1=q2) 0(q1＜q2).

…（11分）

lim

n→∞

Sn

Tn

=

a1(1-q2)

b1(1-q1)

lim

n→∞

1-q1n

1-q2n

=

a1 b1 (q1=q2) a1(1-q2) b1(1-q1) (0＜q1＜1，0＜q2＜1) 0(0＜q1＜q2，q2＞1).

…（14分）
所以使

lim

x→∞

an

bn

=

lim

x→∞

Sn

Tn

成立的条件是0＜q₁＜q₂，q₂＞1或q₁=q₂．…（16分）

点评：本题考查数列问题的综合运用，解题时要认真审题，注意数列的极限、数列的前n项和公式的合理运用．