Question

若0＜a＜1，则函数y=log_a[1-（

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2

）^x]在定义域上是（　　）

• A、增函数且y＞0
• B、增函数且y＜0
• C、减函数且y＞0
• D、减函数且y＜0

Answer 1

分析：本题考查的知识点是指数函数的单调性、对数函数的单调性及复合函数单调性，我们要先求出函数的定义域，然后从内到外逐步分析，（

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2

）^x、[1-（

1

2

）^x]的单调性和取值范围，再结合0＜a＜1及复合函数“同增异减”的原则，判断log_a[1-（

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2

）^x]的单调性及函数值的取值范围．

解答：解：要使函数y=log_a[1-（

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2

）^x]的解析式有意义
则1-（

1

2

）^x＞0
即（

1

2

）^x＜1
即x＞0
当x∈（0，+∞）时，（

1

2

）^x为减函数，且0＜（

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2

）^x＜1
[1-（

1

2

）^x]为增函数，且0＜[1-（

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）^x]＜1
∵0＜a＜1，故
y=log_a[1-（

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2

）^x]为减函数，且y＞0
故选C

点评：函数y=a^x和函数y=log_ax，在底数a＞1时，指数函数和对数函数在其定义域上均为增函数，当底数0＜a＜1时，指数函数和对数函数在其定义域上均为减函数，而f（-x）与f（x）的图象关于Y轴对称，其单调性相反，故函数y=a^-x和函数y=log_a（-x），在底数a＞1时，指数函数和对数函数在其定义域上均为减函数，当底数0＜a＜1时，指数函数和对数函数在其定义域上均为增函数．