Question

（2012•日照一模）给出下列四个命题：
①命题“?x∈R，cosx＞0”的否定是“?x∈R，cosx≤0”；
②若0＜a＜1，则函数f（x）=x²+a^x-3只有一个零点；
③函数y=sin(2x-

π

3

)的一个单调增区间是[-

π

12

，

5π

12

]；
④对于任意实数x，有f（-x）=f（x），且当x＞0时，f′（x）＞0，则当x＜0时，f′（x）＜0．
其中真命题的序号是

①③④

（把所有真命题的序号都填上）．

Answer 1

分析：根据含有量词的命题否定法则，得①是真命题；通过举例说明，结合函数零点存在性定理，可得②不正确；根据正弦函数的图象与性质，可得③是真命题；根据函数奇偶性与导数奇偶性的关系，并结合奇函数的性质，可得④是真命题．

解答：解：根据含有量词的命题否定法则，可得命题“?x∈R，cosx＞0”的否定是“?x∈R，cosx≤0”，故①正确；
若0＜a＜1，取a=

1

2

，则f（x）=x²+（

1

2

）^x-3满足：f（0）=-1＜0且f（

3

）=(

1

2

)

3

＞0
所以f（0）•f（

3

）＜0在区间（0，

3

）有一个零点，又有f（-1）=0，故函数f（x）有不止一个零点，故②不正确；
对于③，因为y=sin(2x-

π

3

)的单调增区间为[-

π

12

+kπ，

5π

12

+kπ]，（k∈Z）
所以取k=0，得函数的一个单调增区间是[-

π

12

，

5π

12

]，故③正确；
对于④，任意实数x有f（-x）=f（x），得函数f（x）是偶函数，可得导数f'（x）是奇函数
所以根据奇函数的性质，可得：“当x＞0时，f′（x）＞0”成立时，
必定有“当x＜0时，f′（x）＜0”成立，故④正确．
故答案为①③④

点评：本题以命题真假的判断为载体，考查了含有量词命题的否定、函数零点存在性定理和三角函数的图象与性质等知识，属于基础题．