Question

已知圆C₁：（x-2cosθ）²+（y-2sinθ）²=1与圆C₂：x²+y²=1，在下列说法中：
①对于任意的θ，圆C₁与圆C₂始终相切；
②对于任意的θ，圆C₁与圆C₂始终有四条公切线；
③当θ=

π

6

时，圆C₁被直线l：

3

x-y-1=0截得的弦长为

3

；
④P，Q分别为圆C₁与圆C₂上的动点，则|PQ|的最大值为4．
其中正确命题的序号为

 

．

Answer 1

分析：①由两圆的方程找出圆心坐标与半径，然后利用两点间的距离公式求出两圆心之间的距离，与两半径之和比较大小即可判断两圆的位置关系；
②根据①得到两圆的位置关系即可得到两圆的公切线的条数；
③把θ的值代入圆方程中得到圆C₁的方程，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线l的距离，由半径和求出的弦心距，利用垂径定理及勾股定理即可求出弦长；
④根据两圆相切得到，两圆心确定的直线与两圆的两个交点为P和Q时，|PQ|最大，最大值等于两直径相加．

解答：解：①由圆C₁：（x-2cosθ）²+（y-2sinθ）²=1与圆C₂：x²+y²=1，
得到圆C₁的圆心（2cosθ，2sinθ），半径R=1；圆C₂的圆心（0，0），半径r=1，
则两圆心之间的距离d=

(2cosθ)2+(2sinθ)2

=2，而R+r=1+1=2，所以两圆的位置关系是外切，此答案正确；
②由①得两圆外切，所以公切线的条数是3条，所以此答案错误；
③把θ=

π

6

代入圆C₁：（x-2cosθ）²+（y-2sinθ）²=1得：（x-

3

）²+（y-1）²=1，
圆心（

3

，1）到直线l的距离d=

|3-2|

3+1

=

1

2

，
则圆被直线l截得的弦长=2

1-( 1 2 )2

=

3

，所以此答案正确；
④由两圆外切得到|PQ|=2+2=4，此答案正确．
综上，正确答案的序号为：①③④．
故答案为：①③④

点评：此题考查学生掌握两圆相切时所满足的条件，灵活运用两点间的距离公式及点到直线的距离公式化简求值，灵活运用垂径定理及勾股定理化简求值，是一道综合题．