Question

已知椭圆C短轴的一个端点为（0，1），离心率为

2 2

3

．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设直线y=x+m交椭圆C于A、B两点，若|AB|=

6 3

5

，求m．

Answer 1

分析：（1）由题意可设椭圆C的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）．由于椭圆C短轴的一个端点为（0，1），离心率为

2 2

3

．可得

b=1 c a = 2 2 3 a2=b2+c2

，解得即可．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．联立

y=x+m x2 9 +y2=1

，消去y得到关于x的一元二次方程，得到根与系数的关系，再利用弦长公式即可得出．

解答：解：（1）由题意可设椭圆C的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）．
∵椭圆C短轴的一个端点为（0，1），离心率为

2 2

3

．
∴

b=1 c a = 2 2 3 a2=b2+c2

，解得a²=9，b=1，c²=8．
∴椭圆C的标准方程为

x2

9

+y²=1．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
联立

y=x+m x2 9 +y2=1

，
得10x²+18mx+9m²-9=0，
∴x₁+x₂=-

9

5

m，x₁x₂=

9m2-9

10

，
∴|AB|=

2

(x1+x2)2-4x1x2

=

2

81m2 25 -4× 9m2-9 10

=

6 3

5

．
解得m=2．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、弦长公式，属于中档题．