题目内容

已知向量 $数学公式$ =（sinx，-1）， $数学公式$ =（ $数学公式$ cosx，- $数学公式$ ），函数f（x）=（ $数学公式$ ）• $数学公式$ -2．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期T：
（Ⅱ）若 $数学公式$ ，试求f（x）的取值范围．

解：（Ⅰ）由题意可得，函数f（x）=（ $\text{[math]}$ ）• $\text{[math]}$ -2= $\text{[math]}$ -2=1+sin²x+ $\text{[math]}$ sinxcosx+ $\text{[math]}$ -2
= $\text{[math]}$ sin2x+ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =sin（2x- $\text{[math]}$ ），
故函数f（x）的最小正周期T= $\text{[math]}$ =π．
（Ⅱ）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ≤2x- $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ ，故当2x- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 时，f（x）取得最小值为-1，
当2x- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 时，f（x）取得最大值为1，
故函数f（x）的取值范围是[-1，1]．
分析：（Ⅰ）由题意利用两个向量的数量积公式，两角和的正弦公式化简函数f（x）的解析式为sin（2x- $\text{[math]}$ ），
由此求得函数的周期．
（Ⅱ）由 $\text{[math]}$ ，可得 $\text{[math]}$ ≤2x- $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ ，由此求得f（x）=sin（2x- $\text{[math]}$ ）的取值范围．
点评：本题主要考查两个向量的数量积公式，两角和的正弦公式，正弦函数的定义域和值域以及周期性，属于中档题．