Question

平面四边形ABCD，其中AB=AD=1，BC=CD=

2

，AB⊥AD，沿BD将△ABD折起，使得AC=1，则二面角A-BD-C的平面角的正弦值为

6

3

．

Answer 1

分析：将平面四边形ABCD沿BD将△ABD折起，如图所示．可以得出△ABC为等腰直角三角形，△BCD为正三角形．设O为BD中点，得出∠AOC为二面角A-BD-C的平面角，通过解三角形AOC得出结果．

解答：解：将平面四边形ABCD沿BD将△ABD折起，所得图形如下图所示：

其中设O为BD中点，在△ABC中，由于AB=AD=1，AB⊥AD，所以△ABC为等腰直角三角形，斜边BD=

2

，斜边中线AO=

1

2

BD=

2

2

，且AO⊥BD
在△BCD中，BC=CD=

2

=BD，所以△BCD为正三角形，CO=

CD2-OD2

=

6

2

，且CO⊥BD，所以∠AOC为二面角A-BD-C的平面角，根据余弦定理可得出
cos∠AOC=

AO2+ CO2-AC2

2AO•CO

=

1 2 + 3 2 -1

2 • 2 2 •  6 2

=

3

3

．
∠AOC为锐角，
所以sin∠AOC=

1-cos2∠AOC

=

1- 1 3

=

6

3

故答案为：

6

3

．

点评：本题考查二面角大小求解．考查空间想象能力、推理论证、计算、转化能力．